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Download e-book for kindle: Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung by Friedrich Wille

By Friedrich Wille

ISBN-10: 3322947653

ISBN-13: 9783322947659

ISBN-10: 3519027534

ISBN-13: 9783519027539

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem challenge: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen intestine, die in großer Vielzahl auf ihn ein­ stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die research hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage­ stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe­ griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri­ schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau­ bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren research hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor­ suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit ein neuer Weg beschritten wird.

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X~-3x~ + ... 4 Zeige: f (x) = x E [0, I], ist nicht Lipschitz-stetig. A nIe i tun g: Man untersuche I f (x) - f (0) I / I x - 0 I. 1 Unendliche Folgen Zunächst betrachten wir zwei Beispiele. Setzt man in die Formel an = l/n 2 nacheinander die na tür I ich e n Z a h I e n l ) 1,2,3,4, ... an Stelle von n ein, so erhält man die Zahlen I, 1 1 1 4' 9' 16' 1 25'··· Durch an = l/n 2 ist also eine Vorschrift gegeben, die jeder natürlichen Zahl n genau ein an ER zuordnet. Abstrakter ausgedrückt: Es ist eine Abbildung von der Menge N der natürlichen Zahlen in die Menge R gegeben.

Die Bedingung al I bedeutet übrigens nichts anderes, als daß die Steigungen *' f(x) - f(a) = al -'---h + a2 h + I{J (h)h2 *' für kleine h = x - a, also x dicht bei a, nahezu gleich al, also I sind. Betrachtet man Fig. 1, so leuchtet ein, daß dies eine vernünftige Forderung ist. 9 Nehmen wir uns dieselbe unschuldige Gleichung xS 3 x= - + - 6 4 wie in Abschn. 54) fUr f(x) = x; + ~, ausgehend von Xo = 0,7, die Tab. 4 (gerundete Werte). Man erkennt die enorm schnelle Konvergenz gegenüber der einfachen Iteration (Tab.

Ihr Grenzwert sei a. ,;;; (ßk + ak) -I- 0, d. h. ak ..... a ftir k ..... 00. (11) Umgekehrt: Konvergiert {an} gegen a, d. ,;;; an -I- 0, was zu beweisen war. • Wegen seiner Wichtigkeit geben wir dem Ca u c h y - K r i t e r i u m gleich eine zweite Fassung, die sich ftir kompliziertere Konvergenzuntersuchungen, z. B. bei doppelten Grenzbildungen wie auch ftir den Nachweis, daß eine Folge nicht konvergiert, besser eignet. 39), d. h. ,;;; E (da an -I- 0), also falls m > n ~ N. 41) Kürzer: Es gibt zu jedem E > 0 ein N E N mit falls m> n ~ N.

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Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung by Friedrich Wille


by Mark
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